양자 컴퓨팅 공부 노트6 – 양자역학 기초 수학 실전 연습 1

양자컴퓨팅공부노트6 – 양자역학 기초 수학 실전 연습 1

지난 노트에서는 양자역학의 공준, EPR 역설, 벨의 정리 등 개념들을 다루었다. 이제 우리는 한 발 물러서서, 이 추상적인 이론들이 구체적으로 어떻게 작동하는지를 손으로 직접 계산해 봐야 한다. 양자역학을 진정으로 이해한다는 것은 아름다운 수식과 증명을 따라갈 수 있다는 의미이기도 하다. 이번 편에서는 The Johns Hopkins University의 Quantum Computation 605.728 과목에서 나온 수학 문제들을 단계별로 풀어보며, 지금까지의 이론을 실제 계산으로 검증해 본다.

양자역학의 기초 수학

문제 1,2,3에 주어진 조건:

{∣0〉,∣1〉}을 2차원 벡터 공간의 정규직교 기저라고 하자. 다음과 같이 두 상태 벡터를 정의한다.

이를 열벡터 형태로 표현하면 다음과 같다.

문제 1: 내적을 계산하시오.

개념: 

내적은 두 벡터 사이의 중첩도를 나타내는 복소수이다. 공준 1에서 배웠듯이, 힐베르트 공간의 모든 상태 벡터는 내적을 정의할 수 있어야 한다.

정의: 

두 상태 벡터과에 대해, 내적은 다음과 같이 정의된다.

풀이:

먼저 를 구해야 한다.

bra 벡터는 ket 벡터의 켤레전치이다.

그러므로

복소수의 켤레:

• 
• 

따라서,

(위에서 주어짐)

내적계산

의미:

의 의미를 해석해보자.

• 크기(Magnitude):
• 확률 해석: 만약 시스템이 상태에 있고, 우리가 그 시스템을 상태로 측정하려 한다면, 성공할 확률은 다음과 같다.

• 직교성(Orthogonality): 내적이 0이 아니므로, 과은 직교하지 않는다(서로 다르지만 연관되어 있다).

문제 2. 외적 연산자의 행렬 표현을 구하시오.

개념:

외적은 내적의 반대다. 만약 내적이 두 벡터를 하나의 스칼라로 축약하는 것이라면, 외적은 두 벡터를 하나의 행렬로 확장하는 것이다.

정의:
상태 벡터과의 외적는 다음과 같은 연산자이다.

행렬 형태:
, 일 때,

풀이:

앞서 계산한 결과를 정리하면,

외적 행렬 계산

이제 각 행과 각 열의 곱을 계산한다.

의미:

외적 연산자는공준 4와 연결되고 파동함수 붕괴를 수학적으로 표현하는 방식이다. 측정 후 시스템의 상태는 특정 고유 상태로 "투영"된다. 예를 들어, 만약과이 어떤 관측량의 고유벡터라면, 이 연산자는 그 관측량을 측정했을 때의 상태 변화를 나타낸다.

문제 3. 텐서곱 벡터의 좌표를 구하시오. 

즉, 을 텐서곱 기저 벡터

의 선형결합으로 나타내시오.

(예를 들어, 은의 축약 표기임을 상기할 것.)

개념: 텐서곱이란 무엇인가?

텐서곱은 지난 노트 4에서 상세히 다룬 개념이지만, 여기서 다시 정리해보자.

정의:
두 개의 상태 벡터와의 텐서곱은 합성 시스템의 상태를 나타낸다. 이는공간의 원소이다.

계산 규칙:
이고일 때,

즉, 첫 번째 벡터의 각 기저 성분에 두 번째 벡터 전체를 곱한다.

열벡터 계산:
만약이고라면,

풀이:

상태 벡터 분해

그러므로

분배 법칙을 적용하면,

최종 답

열벡터 형태:

의미:

은 두 개의독립적인큐비트로 이루어진 합성 시스템의 상태를 나타낸다.

• 첫 번째 큐비트:상태
• 두 번째 큐비트:상태

이 상태는분해 가능한 상태또는곱 상태이다. 즉, 우리가을 다시 개별 큐비트 상태로 분리할 수 있다는 뜻이다. 만약 이 상태가 분해 불가능했다면, 그것은얽힌 상태 였을 것이다 (지난 노트 4에서 배운 벨 상태처럼).

측정 해석:

• 전체 시스템을 측정했을 때, 네 가지 결과 중 하나가 나올 것이다: .
• 각 결과가 나올 확률은 해당 계수의 크기 제곱이다.

확률의 합:

문제 4. 다음 행렬이 유니타리(Unitary)인지를 판정하시오. 

개념: 유니타리 연산자란 무엇인가?

정의:
행렬가유니타리(Unitary)라는 것은 다음 조건을 만족한다는 뜻이다.

여기서는의 켤레전치 이고, 는 항등 행렬이다.공준 5에서 배웠듯이, 양자 시스템의 시간 발전은 유니타리 연산자로 기술된다. 유니타리 연산자는:

• 확률을 보존한다 (벡터의 크기를 보존)
• 가역적이다 (역행렬이 존재)
• 모든 양자 게이트는 유니타리 연산자이다

계산 방법:
유니타리 여부를 확인하려면:

1. 의 켤레전치를 구한다.
2. 를 계산한다.
3. 결과가 항등 행렬인지 확인한다.

풀이:

켤레전치구하기

주어진 행렬을 먼저 명확하게 쓰면,

켤레전치는 다음과 같이 계산된다.

1. 전치(Transpose): 행과 열을 바꾼다.
2. 켤레(Conjugate): 모든 원소의 복소 켤레를 취한다.

각 원소의 켤레를 계산하면:

따라서,

계산하면

이는행렬의 곱이다. 

다음에 각 원소를 계산한다.

1행 1열 원소: 

1행 2열 원소:

2행 1열 원소:

2행 2열 원소:

최종 결과

그러므로 주어진

행렬이 유니타리 조건를 만족하므로, 이 행렬은 유니타리이다.

의미:

이 유니타리 행렬은 양자 게이트로 작용할 수 있다. 양자 연산은 모두 가역적이므로 우리는 언제든지를 적용하여 원래 상태로 돌아갈 수 있다. 이 연산을 상태 벡터에 적용해도 그 상태의 크기(norm)는 1로 유지된다. 그리고 측정 결과의 확률 분포는 변하지 않는다. 예를 들어, 초기 상태에 이 유니타리 게이트를 적용했을 때, 새로운 상태는을 만족한다.

2.마무리

이번 편에서는 양자역학을 기술하는 수학적 언어, 선형대수학의 핵심 연산들을 파헤쳐 보았다. 두 양자 상태의 유사도(확률)를 보여주는내적(Inner Product), 양자 상태를 연산자로 변환하는외적, 그리고 독립적인 큐비트들을 하나의 거대한 시스템으로 확장시키는 텐서곱, 정보의 손실 없이 양자 상태를 변화시키는유니타리행렬이 실제 양자 게이트에서 어떻게 작동하는지, 그 수학적 정의 이면에 담긴 물리적 의미를 이해하는 데 집중했다.

다음 편에서는 두 개 이상의 큐비트가 상호작용하는 복합 시스템을 계산해 보고, 신비로운 양자 상태가 측정이라는 행위를 통해 어떻게 현실의 값으로 붕괴하는지 살펴볼 것이다. 또한 관측량(Observable)과 관련한 증명 문제들을 직접 풀어보면서, 추상적인 수식이 어떻게 구체적인 물리 현상으로 연결되는지 그 개념과 의미를 정리해 보려고 한다.

참고자료

• Dr. David Zaret (2022), Johns Hopkins University: Quantum Computation Lecture Notes (Quantum Computing, Assignment 1)