양자 컴퓨팅 공부 노트5 – 양자역학 공준, EPR 역설, 벨의 정리

지난 포스팅에서는 다중 큐비트 시스템을 기술하는 수학적 언어인 텐서곱 과 그 위에서 작동하는 선형 연산자를 다루었다. 텐서곱 공간은 양자 얽힘(Entanglement)이라는 기묘한 현상이 서식하는 무대이다. 이번 포스팅에서는 양자역학이 실제로 어떻게 작동하는지를 규정하는 공준(Postulates) 들을 정리하고, 이 규칙들이 낳은 역사상 가장 위대한 논쟁인 EPR 역설과 벨의 정리를 살펴본다.

1. 양자역학의 공준 (The Postulates of Quantum Mechanics)

양자역학은 몇 가지 기본 가정(Postulates) 위에 세워진 체계이다. 이 가정들은 증명되는 것이 아니라, 수많은 실험 결과와 일치하기 때문에 참으로 받아들여지는 법칙들이다.

공준 1: 시스템의 상태 (Postulate 1: The State of a System)

For every physical system there is a Hilbert space H that comprises the state space of the system. The state of the system at time t is represented by a unit vector ψ(t) ∈ H. Anything that is in principle knowable about the system at time t can be learned from ψ(t). 

The state space of a composite quantum system is the tensor product of the state spaces of its components. If systems  are individually in states , residing in Hilbert space , then the joint state of the composite total system is , a vector in the tensor product space .

모든 물리적 시스템에는 그 상태 공간을 구성하는 힐베르트 공간가 존재한다. 시간에서의 시스템 상태는 이 공간 내의단위 벡터(Unit Vector) 로 표현된다. 원칙적으로 알 수 있는 시스템의 모든 정보는 이 상태 벡터 안에 담겨 있다.
또한, 여러 시스템이 결합된복합 시스템의 상태 공간은 각 구성 요소의 상태 공간들의텐서곱(Tensor Product)으로 정의된다. 각 시스템이상태에 있다면, 전체 시스템의 상태는 이들의 텐서곱이 된다.

예시:

단일 큐비트는 2차원 힐베르트 공간에 산다. 가장 익숙한 중첩 상태인상태를 보자.

이 벡터의 길이는이므로 단위 벡터이다. 이 벡터 하나가 큐비트의 모든 정보를 담고 있다. 만약 두 개의 큐비트가 각각과상태에 있다면, 전체 시스템의 상태는이라는 4차원 벡터가 된다.

공준 2: 관측 연산자 (Postulate 2: Observable Operators)

Every physically measurable quantity (or “observable”)  is represented by a linear Hermitian operator  acting on the state space . The eigenvectors of  comprise a complete orthonormal basis for 

에너지, 스핀, 위치 등 물리적으로 측정 가능한 모든 양는 상태 공간에 작용하는선형 에르미트 연산자(Hermitian Operator) 로 표현된다. 중요한 점은 이 연산자의 고유벡터(Eigenvector)들이 힐베르트 공간의 완전한 정규 직교 기저(Complete Orthonormal Basis)를 형성한다는 것이다.

예시:

우리가 큐비트가 ‘0’인지 ‘1’인지 측정하고 싶다면, 이는 물리적으로 스핀의 Z축 성분을 측정하는 것과 같다. 이에 해당하는 연산자는파울리-Z 행렬이다.

이 행렬은 에르미트 행렬(자신의 켤레전치와 같음)이며, 우리가 측정하게 될 값은 이 행렬의 고유값인과뿐이다.

공준 3: 측정 결과 (Postulate 3: Measurement Outcomes)

The only possible result of measuring the observable  is one of the eigenvalues of the corresponding operator . 

When  is measured on a system in state , the strongest predictive statement that can be made concerning the result of this measurement is that the probability of obtaining the nondegenerate eigenvalue  of  is , where  is the normalized eigenvector of  associated with the eigenvalue .

When  is measured on a system in state , the probability of obtaining the degenerate eigenvalue  of  is , where  is the degree of degeneracy of , and  is an orthonormal basis for the eigensubspace associated with .

관측량를 측정했을 때 얻을 수 있는 결과값은 오직 해당 연산자의고유값(Eigenvalue) 들뿐이다. 고유값에 대응하는 고유벡터가 하나뿐일 때, 해당 값이 측정될 확률은 상태 벡터와 고유벡터의 내적의 제곱인이다. 하나의 고유값에 여러 개의 서로 다른 고유벡터들이 대응될 때, 해당 고유값이 측정될 확률은 그 고유값에 해당하는 모든 기저 벡터들()에 대한 투영 확률의 합이다.

예시:

다음과 같은 큐비트 상태가 있다고 하자.

이 상태를 측정(Z기저 측정)한다고 가정해 보자.

• 관측 가능한 결과값: ‘0’ 또는 ‘1’ (고유값).
• ‘0’이 나올 확률:의 계수인의 제곱, 즉 (75%).
• ‘1’이 나올 확률: 의 계수인의 제곱, 즉 (25%).
  확률의 합은 항상 1이 된다.

공준 4: 파동함수의 붕괴 (Postulate 4: Reduction of the Wave Packet)

If the measurement of observable  on a system in state  yields the result , then the state of the system immediately after the measurement is given by the normalized projection of  onto the eigensubspace associated with . In particular, if  is nondegenerate, then the state of the system after the measurement is the corresponding eigenvector 

상태인 시스템을 측정하여 결과값을 얻었다면, 측정 직후 시스템의 상태는 해당 결과값에 대응하는 고유벡터으로 급격하게 변화한다. 이를파동함수의 붕괴(Collapse) 라고 한다. 즉, 측정 전에는 중첩 상태였을지라도 측정 후에는 하나의 상태로 확정된다.

예시:

공준 3의 예시에서상태를 측정했는데, 운 좋게‘1’이라는 결과를 얻었다고 치자. 그렇다면 측정 후이 큐비트의 상태는 무엇일까? 더 이상 중첩 상태가 아니다.

이제 이 큐비트를 다시 측정하면 100% 확률로 ‘1’만 나온다. 첫 번째 측정이 원래 가지고 있던 ‘0’에 대한 정보(확률 75%)를 완전히 날려버린 것이다.

공준 5: 시스템의 시간 발전 (Time Evolution of a System)

The time evolution of an isolated quantum system is described by a unitary operator over its state space. In other words, the state  of a system at time  is related to its state  at time  by a unitary operator .

측정을 하지 않는 동안, 외부와 상호작용하지 않는 고립된 양자 시스템은유니타리 연산자(Unitary Operator) 에 의해 변화한다.

유니타리 변환은 확률(벡터의 길이)을 보존하며, 양자 상태가 결정론적이고, 가역적으로 변화함을 의미한다. 양자 컴퓨터에서 ‘계산’을 한다는 것은 바로 이 유니타리 연산자를 큐비트에 적용하는 과정이다. 양자 컴퓨터의 모든 게이트 연산(Gate Operation)은 이 공준에 기반한다.

예시:

초기에상태인 큐비트에하다마드 게이트(Hadamard Gate, H) 를 적용하는 상황을 보자. 

우리의 시스템은 초기에상태에 있다. 이는 2차원 열벡터로 다음과 같다.

여기에 시간 발전 연산자로서 하다마드 게이트를 적용한다. 는 다음과 같은유니타리 행렬이다.

공준 5에 따라 시간에서의 상태는 행렬과 벡터의 곱으로 계산된다.

이 결과 벡터은 기저 벡터로 표현하면 다음과 같다.

이 과정에는 측정이 개입되지 않으므로 확률적인 요소가 전혀 없으며, 언제나 똑같은 결과()를 만들어낸다.

2. EPR 역설 (The EPR Paradox)

1935년, 알베르트 아인슈타인(Einstein), 보리스 포돌스키(Podolsky), 네이선 로젠(Rosen)은 현대 물리학 역사상 가장 유명한 논문인“Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? (물리적 실재에 대한 양자역학적 기술은 완전한가?)” 를 발표했다. 흔히 저자들의 앞글자를 따 EPR 역설이라 불리는 이 논문은 양자역학 해석의 심장을 겨냥한 정교한 사고 실험이였다.

여기서는 데이비드 봄(David Bohm)이 스핀 시스템을 이용해 재구성한 버전으로 이 역설을 파헤쳐 보겠다.

사고 실험: 얽힌 입자 쌍의 여행

스핀이인 두 입자(전자 등)가 서로 상호작용하여 전체 스핀이 0인싱글렛 스핀 상태(Singlet Spin State) 로 묶여 있다고 가정해 보자. 그 후, 두 입자는 전체 스핀이 보존되는 방식으로 서로 분리된다. 이 두 입자 시스템의 스핀 상태 벡터는-축 고유 기저(spin-z eigenbasis)에서 다음과 같이 표현된다.

여기서는 스핀 업(Up), 는 스핀 다운(Down)을 의미한다. 물론, 임의의 고정된 방향에 대해서도 벡터는 2차원 스핀 상태 공간의 기저를 제공하므로, 우리는 이 기저를 사용해를 전개할 수도 있다. 우리가 어떤 방향를 고려하든 해당 기저에서의전개는 (1)식과 정확히 동일한 형태를 가진다.

싱글렛 상태는구면 대칭(Spherically Symmetric) 이다. 우리가 어느 방향의 스핀을 보든 두 입자 시스템은 총 스핀 0을 가진다. EPR 논증을 위해서는축과축 두 방향만 살펴보면 된다. 따라서 우리는 식 (1)과 함께 다음 식을 보게 될 것이다.

이제 입자 1과 2가 상태로 준비되어, 반대 방향에 있는 슈테른-게를라흐(Stern-Gerlach) 자석을 향해 날아간다고 가정해 보자.
그리고 입자 1이 자신의 SG 자석을 먼저 통과한다고 하자.

경우 1: 측정 (Z축 스핀)
만약 입자 1에 대해가 측정된다면, 식 (1)과 사영 공준(Projection Postulate)에 따라 측정 결과는 다음과 같다.

• 만약 입자 1이 위로 휘어진다면, 두 입자 시스템은 상태로 사영된다. (따라서 입자 2는 반드시 아래로 휘어질 것이다.)
• 만약 입자 1이 아래로 휘어진다면, 두 입자 시스템은 상태로 사영된다. (따라서 입자 2는 반드시 위로 휘어질 것이다.)

경우 2: 측정 (X축 스핀)
마찬가지로, 만약 입자 1에 대해가 측정된다면:

• 만약 입자 1이 왼쪽으로 휘어진다면, 두 입자 시스템은 상태로 사영된다.
• 만약 입자 1이 오른쪽으로 휘어진다면, 두 입자 시스템은 상태로 사영된다.

따라서 싱글렛 상태는 두 입자의 스핀 성분이 완벽하게 상관관계를 가지는 상태이다. 어떤 축을 따라 입자 1에 대해 스핀 업(또는 스핀 다운)이 기록되면, 입자 2의 스핀 성분은 같은 축을 따라 반드시 반대 값이 발견된다.

지금까지는 별로 이상하게 들리지 않는다. 사실, 이것은 우리가 예상하는각운동량 보존 법칙(Conservation of Angular Momentum)처럼 들린다.

아인슈타인의 반격: 국소성과 실재성

하지만 이제 (1)번 식(혹은 (2)번 식)이얽힌 상태(Entangled State) 의 예시라는 점을 고려해 보자. 는 곱 상태(Product State)로 인수분해될 수 없다. 따라서, 두 입자 시스템은 잘 정의된 상태 벡터를 가지지만, 개별 입자는 측정이 수행되기 전까지는 전혀 확정적인 상태 벡터를 가질 수 없다. 반면 측정 후에는 두 입자 모두 잘 정의된 상태를 가진다. 특히, 입자 1에 수행된 측정의 결과로 입자 2는 스핀 고유 상태로 내던져 진다.

비록 두 입자가 수 광년 떨어져 있다 하더라도, 입자 1에 대한측정은순간적으로 입자 2를-스핀 고유 상태로 내던질 것이다. 아인슈타인은 이 현상을“유령 같은 원격 작용(Spooky-action-at-a-distance)“이라고 불렀다.

EPR은 그들이 묘사한 상황이 다음 두 가지 중 하나로 해결될 수 있다고 주장했다.

1. 입자 1이 측정될 때, 그 결과가 입자 2에게순간적으로(혹은 적어도 빛보다 빠르게) “전달(Communicated)”된다. (이는 특수 상대성 이론을 위배한다.)
2. 양자 이론은불완전하며, 시스템의 실제 상태에 대한 통계적인 서술만을 제공할 뿐이다. 실제 상태는 직접적으로 관측할 수는 없지만 잘 정의된 어떤숨은 변수(Hidden Variables)에 의해 완전히 정의되어 있다.

아인슈타인은 “신은 주사위 놀이를 하지 않는다”는 믿음 아래, 양자역학의 확률론적 서술 뒤에 결정론 적인 실재(숨은 변수)가 숨어 있을 것이라고 확신했다. 그리고 이 논쟁은 1964년, 존 벨(Bell)이 등장하기 전까지 단순한 철학적 담론으로 남아 있었다.

 

3. 벨의 정리 (Bell’s Theorem)

1960년대, 물리학자 존 스튜어트 벨(John Stewart Bell)은 EPR이 상상했던 것과 같은 국소적 실재론적 숨은 변수 이론(Local Realistic Hidden Variables Theory)이 양자역학의 예측과는다른예측을 내놓아야만 한다는 사실을 발견했다. 1980년대부터 수행된 실험 결과들은 영자역학의 예측과 일치했다. 이 실험들은 국소적 실재론적 숨은 변수가 존재하지 않으며, 따라서 “유령 같은 원격 작용”이 물리적 세계의 근본적인 특징인 것으로 보임을 확립했다.

EPR은 두 관찰자가동일한 축을 따라 측정하는 상황(즉, 둘 다 z축을 선택하거나, 둘 다 x축을 선택)에만 관심을 가졌다. 벨은 관찰자들이서로 다른 축을 따라 측정할 때 무슨 일이 일어나는지 질문함으로써 그의 유명한 부등식을 발견했다.

벨의 실험 버전에서는 슈테른-게를라흐 자석을 위한 세 가지 다른 방향를 고려한다. 따라서 스핀-입자 쌍에 대해 수행될 수 있는 실험은 총 9가지가 된다. 첫 번째 관찰자인 앨리스(Alice)가 자신의 입자에 대해 스핀-를 측정하는 동안, 두 번째 관찰자인 밥(Bob) 또한 스핀-를 측정할 수도 있고; 혹은 앨리스는 방향를 측정하고 밥은를 측정할 수도 있는 식이다.

이제 이 실험 배치에 대한 숨은 변수 이론이 어떤 모습일지 고려해보자. 우리는 국소적 실재론적 숨은 변수 이론에 관심이 있다. 이 이론은 두 입자에 대해 동일한 측정이 수행될 때 나타나는 상관관계를 원격 작용(action-at-a-distance)에 의존하지 않고 설명해야 한다. 그러한 이론을 구성하는 자연스러운 접근 방식은 다음과 같다.

1. 각 입자는형태의 “지령 집합”을 부여받는다. 이것은 입자가중 어떤 방향으로 정렬된 SG 장치와 상호작용할 때 어떻게 반응할지를 지정한다. 예를 들어, 입자는자석에 의해 위로, 자석에 의해 아래로, 자석에 의해 위로 휘어질 것이 보장된다.
2. 입자가 SG 자석과 상호작용하여 얻어지는 측정 결과는 오직 자석의 방향과 그 입자의 지령 집합에만 의존한다. 결과는 공간적으로 분리된(spacelike separated) 다른 입자에 대해 수행될 수 있는 그 어떤 측정과도 무관하다.
3. 입자의 지령 집합은 입자 고유의 것이다. 그것은 “실험 배치”(특히, 우리가 그 입자에 대해 어떤 실험을 수행하려고 의도하는지)와 무관하다.
4. 입자 쌍이 싱글렛 스핀 상태로 준비될 때, 두 입자의 지령 집합은 서로 상보적이다. 예를 들어, 입자는입자와 짝지어질 것이다.

이 기술과 일치하는 이론은 원격 작용에 의존하지 않고도 EPR 상관관계를 확실히 설명할 수 있을 것이다. 이것을 달성하는 다른 방법을 생각할 수 있는가?

벨이 보여준 것은 성질 (i)-(iv)를 만족하는 그 어떤 이론도 양자역학과는 다른 예측을 한다는 점이다. 그의 논증의 간단한 버전은 다음과 같이 진행된다.

수많은 싱글렛 입자 쌍이 순차적으로 준비된다. 각 쌍의 한 입자는 앨리스의 SG 자석으로, 다른 입자는 밥의 자석으로 향한다. 각 입자에 대해, 앨리스와 밥은 무작위로 그리고 독립적으로 그들의 자석 방향으로중 하나를 선택한다.

아래 표는 관측된 상관관계(앨리스와 밥이 같은 자석 방향을 선택했을 때 서로 반대 결과를 얻는 것)와 일치하는 8가지 가능한 지령 집합 쌍을 나열한 것이다. 또한 주어진 실험에서 소스에 의해 생성된 각 쌍의 총 개수도 함께 표시되어 있다. 입자 쌍의 총 개수(총 시행 횟수)는이다.

모집단 (Population)	앨리스의 입자 (Alice’s particle)	밥의 입자 (Bob’s particle)

를 앨리스가 결과을 얻고 밥이을 얻을 확률이라고 하자. 표에서 다음을 알 수 있다.

마찬가지로,

이므로, 우리는 반드시 다음을 만족해야 한다.

이 마지막 부등식을 확률로 다시 쓰면, 벨의 원래 부등식의 단순화된 버전인 “벨-위그너 부등식(Bell-Wigner inequality)”을 얻는다.

4.양자역학과 벨-위그너 부등식 (Quantum Mechanics and the Bell-Wigner Inequality)

이제 벨의 EPR 실험 버전에 대해 양자역학이 무엇을 말하는지 살펴보자. 우리는평면에서의 회전만 고려하면 되므로, 이고 다음과 같다.

여기서는와사이의 각도이다.

이제 입자 1에 대해가 측정되고 입자 2에 대해가 측정된다고 가정해 보자. 두 측정 모두 “+1″을 얻을 확률은 얼마인가?
2-입자 시스템은 상태에 있으므로, 다음을 안다.

만약 우리가 입자 1에 대해 +1을 얻는다면, 2-입자 시스템은 상태로 투영된다. 이는 입자 2가상태에 있음을 의미한다.
상태에 있는 입자에 대한측정이 결과을 생성할 확률은 다음과 같다.

따라서,

이 논증에서 중요한 것은 오직와사이의 각도뿐이다. 따라서 만약가평면상의 벡터들이고, 가와사이의 각도라면(그리고도 마찬가지로), 양자역학은 우리에게 다음을 말해준다.

벨-위그너 부등식 (3)에 의해, 만약 우리가 원하는 종류의 숨은 변수 이론이 이러한 확률들을 재현하려면, 다음을 만족해야만 한다.

하지만 이 부등식은 임의의 각도에 대해서는 만족될 수 없다. 예를 들어, , 인 경우를 고려해 보자.

결론은 스핀 성분의 9가지 가능한 측정 결과에 대한 양자역학 확률들은, 표에 나열된 8가지 시퀀스에 어떤 확률을 부여하더라도 싱글렛 스핀 상태에 있는 입자들에 대해서는 재현될 수 없다는 것이다. 1980년경부터 수행된 실험들은 양자역학의 예측이 맞다는 것을 확인해 주었다: 벨의 부등식은 실제로 위배된다.

이 결과는 때때로“Bell’s Telephone”라고 불린다. 결론은 유령 같은 원격 작용(spooky action-at-a-distance)은 실재하며 피할 수 없는 것으로 보인다.

5. 마무리

양자역학의 공준이 제시하는 파동함수의 붕괴와 확률적 해석은 직관에 반하는 측면이 있으나, 수많은 실험을 통해 그 타당성이 완벽하게 입증되였다. 무엇보다 EPR 역설과 벨의 정리가 증명해 낸 비국소성과 얽힘의 실재는 고전 물리학의 직관을 근본적으로 뒤집었으며, 이는 곧 양자 컴퓨터가 지닌 막강한 연산 능력의 원천이기도 하다. 다음 노트에서는 지금까지 다룬 이론과 수식들을 직접 연습해 볼 수 있도록, 양자역학 수학 예제 풀이를 다뤄보겠다.

참고자료

• Dr. David Zaret (2022), Johns Hopkins University: Quantum Computation Lecture Notes (Quantum Mechanics Formalism Lecture)
• Dr. David Zaret (2022), Johns Hopkins University: Quantum Computation Lecture Notes (EPR and Bell Lecture Notes)
• Einstein, Podolsky, Rosen, “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete?”, Physical Review 47, 1935, pp. 777-780
• John S. Bell, “On the Einstein Podolsky Rosen Paradox”, Physics 1, 1964, pp.195-200