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양자 컴퓨팅 공부 노트 – 2. 양자컴퓨터의 기본단위와 표기법

양자컴퓨터를 연구하고 공부할 때 쓰던 노트 - 기본단위와 표기법

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  1. 양자 컴퓨팅 공부 노트 – 1. 새로운 컴퓨팅의 시작
  2. 양자 컴퓨팅 공부 노트 – 2. 양자컴퓨터의 기본단위와 표기법
  3. 양자 컴퓨팅 공부 노트 – 3. 싱글 큐비트 시스템의 연산법
  4. 양자 컴퓨팅 공부 노트 – 4. 다중 큐비트 시스템 선형 연산자와 텐서곱
  5. 양자 컴퓨팅 공부 노트5 – 양자역학 공준, EPR 역설, 벨의 정리
  6. 양자 컴퓨팅 공부 노트6 – 양자역학 기초 수학 실전 연습 1

양자 컴퓨터를 이해하기 위해서는 먼저 우리가 익숙한 고전 컴퓨터가 정보를 처리하는 방식을 수학적으로 정립할 필요가 있다. 이번 노트에서는 고전 정보의 수학적 기술 방법을 토대로, 양자 정보처리의 핵심 원리와 이를 뒷받침하는 힐베르트 공간의 개념, 디이락 표기법, 그리고 왜 양자 컴퓨터가 이 복소 공간에서 연산을 수행해야만 하는지에 대해 자료 정리해봤다.

1. 큐비트 (Qubit)

큐비트(Qubit)는 양자 비트(Quantum Bit)의 약자로, 고전 컴퓨터의 비트(Bit)에 대응하는 양자 정보의 기본 단위이다. 고전적인 비트가 0 또는 1이라는 확정적인 상태 중 하나만을 가질 수 있는 반면, 큐비트는 중첩 상태를 통해 0과 1의 상태를 동시에 가질 수 있다.

예시: 일반 동전과 양자 동전의 차이

고전적 비트 (Classical Bit) – 책상 위의 동전

우리가 흔히 쓰는 일반 동전(고전적 비트)을 생각해보자. 책상 위에 놓인 동전은 항상 ‘앞면(0)’ 아니면 ‘뒷면(1)’ 중 하나의 상태로 고정되어 있다. 비트는 언제 확인해도 상태는 변하지 않으며, 0과 1 사이의 중간 상태는 존재하지 않는다. 동전이 멈춰 있는 한, 앞면이면서 동시에 뒷면일 수는 없다. 비트를 수학으로 표현하면:

bit∈{0,1}

큐비트 (Qubit) – 회전하는 동전

큐비트는 공중에서 빠르게 회전하고 있는 동전에 비유할 수 있다. 동전이 빠르게 돌고 있을 때는 앞면인지 뒷면인지 확정할 수 없다. 이는 “앞면도 아니고 뒷면도 아닌 상태”가 아니라, “앞면의 가능성과 뒷면의 가능성이 동시에 존재하는 역동적인 상태” 이다. 회전하는 동전을 손바닥으로 탁 잡아서 확인하는 순간, 동전은 멈추고 반드시 앞면 혹은 뒷면 중 하나로 결정된다. 이것이 바로 양자 상태의 측정(Measurement) 과정이다.

고전적인 동전 던지기 결과가 무작위처럼 보이는 것은 우리가 던지는 힘이나 바람의 세기를 완벽히 모르기 때문이다. 하지만 양자 동전은 측정 전까지 본질적으로 정해지지 않은 상태에 있으며, 측정하는 순간에야 비로소 결과가 결정된다.

용어 해석

  • 고전적 비트 (Classical Bit): 현재 흔히 사용하는 일반 컴퓨터(스마트폰, 노트북 등)에서 정보를 저장하고 처리하는 가장 기본적인 단위. 0 아니면 1.
  • 측정 (Measurement): 양자 상태를 관측하여 특정한 값을 얻어내는 행위.
  • 양자 비트 (Quantum Bit = Qubit): 양자 컴퓨터에서 사용하는 정보의 기본 단위.(0과 1의 확률적 공존)

2. 힐베르트 공간 (Hilbert Space)

힐베르트 공간(Hilbert Space)은 양자 상태 벡터들이 거주하는 수학적 공간이다. 조금 더 쉽게 설명하면, 우리가 사는 공간이 3차원 유클리드 공간(가로, 세로, 높이)인 것처럼, 양자 상태들이 존재하는 ‘무대’가 바로 힐베르트 공간이다.

힐베르트 공간 정의

수학적으로는 내적(Inner Product)이 정의된 완비 복소 벡터 공간(Complete Complex Vector Space)을 의미한다. 복소 벡터 공간은 벡터의 성분이 실수(Real Number)가 아닌 복소수(Complex Number) 로 이루어져 있다. 내적은 벡터 사이의 각도나 길이를 계산할 수 있게 해주는 연산으로, 양자 역학에서는 이를 통해 확률을 계산한다.

왜 힐베르트 공간에서 계산해야 하는가?

만약 큐비트가 단순히 “0이 나올 확률 70%, 1이 나올 확률 30%”처럼 작동하는 존재였다면 우리는 복잡한 힐베르트 공간을 사용할 필요 없이 실수만으로 표기해도 충분했을 것이다. 예를 들어, “측정 시 70% 확률로 0이 나오고, 30% 확률로 1이 나온다”는 정보만 있다면, 0.7과 0.3이라는 실수만으로 충분하다.

하지만 양자 컴퓨터의 핵심은 큐비트의 상태가 단순한 확률이 아니라 확률 진폭(Probability Amplitude) 이라는 복소수를 사용하여로 표현된다는 점에 있다. 여기서 가 바로 각 상태에 대한 확률 진폭이다.

실수는 크기(Magnitude)만 가지지만 복소수는 ‘크기’와 ‘위상(Phase)’이라는 두 가지 정보를 동시에 담고 있는데, 여기서 위상은 마치 화살표의 방향과 같다. 양자 알고리즘은 이 위상 정보를 조작하여 여러 상태의 파동을 겹칠 때 같은 방향끼리는 더해져 확률을 키우는 보강 간섭을 일으키고, 반대 방향끼리는 서로 지워버리는 상쇄 간섭을 일으킨다. 즉, 힐베르트 공간이라는 복소수 무대가 필요한 진짜 이유는 오답이 되는 경로를 상쇄 간섭으로 지워버리고 정답 경로만 남기는 양자 연산의 마법을 수학적으로 구현할 수 있기 때문이다.

용어 해석

  • 실수 (): 우리가 일상에서 쓰는 수(1, -5, 3.14, 등)로, 수직선 위에 표시할 수 있는 수.
  • 복소수 (): 실수에 허수 단위 , ()를 더해 확장한 수.
  • 내적 (Inner Product): 두 벡터를 연산하여 스칼라 값(하나의 숫자)을 얻는 과정으로, 벡터 간의 ‘닮음’이나 ‘방향성’을 측정하는 계산 방식.
  • 복소 벡터 공간 (Complex Vector Space): 벡터 공간은 벡터들이 살고 있는 무대인데, ‘복소 벡터 공간’은 그 벡터들을 구성하는 숫자가 복소수인 공간을 말한다.
  • 크기 (Magnitude): 크기는 큐비트가 특정 상태(0 또는 1)로 관측될 확률을 결정하는 값.
  • 위상 (Phase): 위상은 큐비트 상태 간의 상대적인 관계를 나타내는 값으로, 간섭 현상을 일으키는 핵심 요소.

3. 블로흐 구 (Bloch Sphere)

힐베르트 공간은 복소수 공간이라 상상하기 어렵다. 이를 3차원 공간에서 눈으로 볼 수 있게 만든 기하학적 모델이 블로흐 구다.

정의: 하나의 큐비트 상태를 반지름이 1인 구 표면 위의 한 점으로 대응시킨 것. 큐비트의 상태는 두 개의 각도 와 로 표현된다.

(위도): 0과 1의 비율 결정. 북극(0)은 ∣0⟩, 남극(π)은 ∣1⟩이다.

(경도): 양자 상태의 상대적 위상. 적도를 따라 회전하는 것은 위상의 변화를 의미하며 간섭 현상의 핵심이 된다.

양자 상태 ∣ψ⟩는 다음과 같이 복소수 계수를 사용하여 표현된다.

위에서 말했듯이 여기서 α와 β는 a+bi 형태의 복소수이다. 이 복소수는 크기뿐만 아니라 위상 정보를 담고 있다. 오일러 공식(Euler’s Formula)을 사용하면 이를 극좌표(Polar Coordinates) 형태로 표현하여 위상의 의미를 더 명확히 알 수 있다.

여기서 r은 진폭의 크기, θ는 위상을 나타낸다. 이 허수 단위 i와 위상 θ 덕분에 양자 상태는 단순한 양수의 합이 아닌, 회전과 간섭이 가능한 파동의 성질을 갖게 된다. 예를 들어, 두 상태가 더해질 때 1+(-1)=0처럼 완벽하게 사라지는 상쇄 간섭(Destructive Interference)이 가능하다. 이는 확률이 음수가 될 수 없는 고전 확률론에서는 불가능한 현상이다.

다시 말하면 양자 알고리즘은 힐베르트 공간 안에서 벡터를 회전시키며 오답이 될 상태의 진폭은 상쇄시켜 없애고, 정답이 될 상태의 진폭은 보강하여 키우는 과정이다. 이러한  파동 간섭 현상은 오직 복소 벡터 공간인 힐베르트 공간에서만 수학적으로 기술되고 구현될 수 있다.

용어해석: 

  • 오일러 공식(Euler’s Formula): 복소수 지수함수와 삼각함수(파동)를 연결해주는 수학 공식
  • 극좌표(Polar Coordinates): 복소수나 2차원 평면의 점을 다룰 때 직교좌표계(x, y) 대신 거리 r와 각도 θ를 사용하여 위치를 표현하는 방식.
  • 상쇄 간섭 (Destructive Interference):  두 개 이상의 파동이 만나 파동의 마루와 골이 서로 반대로 겹쳐 합성파의 진폭이 줄어들거나 소멸되는 현상. 이는 복소수 계수의 위상 차이 때문이다.

4.양자 상태와 수학적 표현 (Quantum States and Mathematical Representation)

양자역학의 계산을 간결하고 직관적으로 만들기 위해 물리학자 폴 디랙(Paul Dirac)이 고안한 디랙 표기법(Dirac Notation) 또는 브라-켓 표기법(Bra-ket Notation)을 사용한다. 이는 양자 상태를 벡터로, 그리고 벡터 간의 연산을 매우 효율적으로 다룰 수 있게 해주는 표준 언어이다. 디랙 표기법은 ‘브라(Bra)’와 ‘켓(Ket)’이라는 두 가지 기본 요소로 양자 상태를 표현한다. 이 용어는 ‘괄호(Bracket)’라는 영어 단어를 나눠 만든 것이다.

켓 (Ket) 벡터:

‘켓’은 특정 양자 상태 그 자체를 나타내는 열 벡터(Column Vector) 이다. ∣ψ⟩는 ‘프사이(psi) 켓’이라고 읽으며, 하나의 큐비트 상태를 힐베르트 공간의 벡터로 표현한다. 예시: 가장 기본적인 계산 기저 상태인 ∣0⟩과 ∣1⟩은 다음과 같은 열 벡터로 표현할수 있다.

큐비트의 일반적인 중첩상태는 이기저 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있다.

브라 (Bra) 벡터: 

‘브라’는 켓벡터에 대응하는 행벡터(Row Vector) 이다. 수학적으로는 켓벡터의 켤레전치(Conjugate Transpose)에 해당한다. 켤레전치는 벡터의 각성분에 켤레복소수(Complex Conjugate)를 취한뒤, 행과열을 바꾼(전치 Transpose) 것이다.

예시: 과에대응하는브라벡터와는다음과같다.

중첩상태의 브라벡터는 각계수에 켤레복소수를 취하여 행벡터로 만든다. (여기서는의켤레복소수이다.)

브라–켓 (Bra-ket) / 내적:

브라벡터와 켓벡터를 합치면 ‘브라켓’이되며, 이는 두벡터의 내적을 의미한다. 그결과는 벡터가 아닌 스칼라(Scalar) 값, 즉 하나의 복소수가된다.내적의 주된 역할은 확률진폭을 계산하는 것 이다. 양자상태를 측정했을때, 다른상태로 발견될 확률진폭은로 계산 된다. 실제 측정확률은 이 값의 크기를 제곱한이된다.

예시:

상태을 측정했을 때로 발견될 확률은 0이다. 이는 두상태가 서로 직교(Orthogonal)하기 때문이며, 내적으로 간단히 확인 할수있다.

마찬가지로, , 이다.

용어해석:

  • 스칼라 (Scalar):크기(magnitude)만 가지고 방향은 없는 물리량 이나 수.
  • 열벡터 (Column Vector): 숫자 들을 세로로 나열한 형태의 행렬.
  • 행벡터(Row Vector): 숫자들을 가로로 나열한 형태의 행렬.
  • 전치 (Transpose): 행렬의 행과열을 서로 바꾼것.
  • 켤레복소수 (Complex Conjugate): 복소수의 허수부 부호를 반대로 바꾼수
  • 켤레전치 (Conjugate Transpose): 행렬을 전치(Transpose)한후, 각 성분의 켤레복소수를 취한것. 

5. 마무리

이번 정리를 통해 양자컴퓨터가 단순히 고전컴퓨터의 속도를 빠르게한 것이 아니라, 정보를 다루는 차원 자체가 다르다는 것 을 확인했다. 큐비트는 0과 1의 단순한 나열이 아닌, 힐베르트공간이라는 복소벡터 공간에서 확률진폭의 크기와 위상을 통해 무한한 가능성을 동시에 품는다.이제 큐비트의 상태를 정의하고 조작할수 있는 기초언어를 소개 했으므로, 다음단계에서는 양자컴퓨터 큐비트연산을 수행하는 방식을 소개 해보려고 한다.

참고자료

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